Вычислит Площадь Фигуры Ограниченной Линиями

вычислит площадь фигуры ограниченной линиями
Математика без Ху%!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.

В разделе геометрический смысл определенного интеграла мы разобрались с нахождением площади криволинейной трапеции G. Однако при решении задач на нахождение площади очень часто приходится иметь дело с более линими фигурами. Пусть функции и определены и непрерывны на отрезке [a;b]причем для любого значения x из [a;b]. Покажем справедливость формулы для трех случаев: В первом случае, когда обе функции неотрицательные, в вычислит площадь фигуры ограниченной линиями свойства аддитивности площади сумма площади исходной фигуры G вычилсит криволинейной трапеции равна площади фигуры.

Найти площадь фигуры ограниченной линиями онлайн

Последний переход возможен в силу третьего свойства определенного интеграла. Аналогично, во втором случае справедливо равенство.

В третьем случае, когда обе функции неположительные, имеем. Теперь можно переходить к общему случаю, когда функции и пересекают ось Ox.

Эти точки разбивают отрезок [a; b] на ограниыенной частей. Фигуру G можно представить объединением фигур. Очевидно, что на своем интервале попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся. Последний переход справедлив в силу пятого свойства определенного интеграла.

Таким образом, формула доказана. Решение каждой задачи будем начинать с построения фигуры на плоскости. Это линияи позволит сложную фигуру вычислит площадь фигуры ограниченной линиями как объединение более простых фигур.

При затруднениях с построением обращайтесь к статьям: Построим эти линии на плоскости.

вычислит площадь фигуры ограниченной линиями

Всюду на отрезке [1;4] график параболы выше прямой. Поэтому, применяем полученную ранее формулу для площади и вычисляем определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

вычислит площадь фигуры ограниченной линиями

В чем здесь отличие от предыдущих примеров? Давайте для этого взглянем на чертеж. Эту абсциссу найдем из фигуты Но в других случаях все может быть не так очевидно. Поэтому рекомендуем всегда аналитически вычислять абсциссы и ординаты точек пересечения линий. Применяем формулу для вычисления площади: Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций. Построим график обратной пропорциональности и параболы. Прежде чем применять формулу для нахождения площади фигуры, нам нужно определиться с пределами интегрирования.

вычислит площадь фигуры ограниченной линиями

Для этого найдем абсциссы точек пересечения линий, приравняв выражения. При отличных от нуля значениях x равенство эквивалентно уравнению третьей степени с целыми коэффициентами. Можете обратиться к разделу решение кубических уравнений чтобы вспомнить алгоритм его решения.

Разделив выражение на двучлен x-1имеем: Таким образом, оставшиеся корни находятся из уравнения: Теперь из чертежа стало видно, что фигура G заключена выше синей и ниже красной линии на интервале. Таким образом, искомая площадь будет равна.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми и осью абсцисс. Это утверждение не совсем очевидно, но - функция строго возрастающая, а - строго убывающая, поэтому, уравнение имеет не более вычислит площадь фигуры ограниченной линиями корня. Как же действовать дальше? Здесь есть несколько вариантов.

Площадь фигуры, ограниченной линиями

То есть, ограничивающие линии нужно представить в виде функций от аргумента y. Это сделать в нашем случае достаточно легко. Разрешим уравнения и относительно x: Таким образом, искомая площадь равна. Мы бы пришли к этому же результату и в двух других случаях. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями. С построением этих линий проблем огпаниченной не.

На чертеже красной линией изображен график функциисиней линиейа черной линией. Начнем с графиков функций и: Найдем точку пересечения графиков функций и: Осталось найти точку пересечения прямых и: Вычислит площадь фигуры ограниченной линиями площадь фигуры равна: Для этого случая, перед применением формулы для вычисления площади фигуры, разрешим уравнения линий относительно x: Вычиислит образом, площадь равна: Мы линими все наиболее часто встречающиеся случаи нахождения площади фигуры, ограниченной явно заданными линиями.

Для этого нужно уметь строить линии на плоскости, находить точки пересечения линий и применять формулу для нахождения площади, что подразумевает наличие площкдь вычисления определенных интегралов. Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www. Очевидно, что на своем интервале попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как Следовательно, Последний переход справедлив в силу пятого свойства определенного интеграла.

Графическая иллюстрация общего случая. Найдем точки пересечения всех линий. Можно фигуру G представить суммой двух криволинейных трапеций. Первая фигура расположена выше оси абсцисс и ниже синей линии на отрезкевторая фигура расположена выше оси абсцисс и ниже красной линии на отрезке.

Вычислит площадь фигуры ограниченной линиями определенно

Следовательно, искомая площадь будет равна. Можно фигуру G представить разностью двух фигур. Первая фигура является криволинейной трапецией и расположена выше оси Ox и ниже синей линии на отрезкевторая фигура расположена выше красной и ниже синей линии на отрезке. В этом случае площадь представляем.

вычислит площадь фигуры ограниченной линиями

А можно фигуру G рассматривать вычислит площадь фигуры ограниченной линиями отрезкезаключенной правее синей линии и левее красной. Вот на этом варианте и остановимся. Таким образом, искомая площадь равна Мы бы пришли к этому же результату и в двух других случаях. Определим точки пересечения линий. Дальше можно поступить двояко: Площадь искомой фигуры можно представить суммой площадей фигур, изображенных на рисунке Тогда площадь фигуры равна: Также можно было площадь исходной фигуры выразить суммой площадей, показанных на чертеже Для этого случая, перед применением формулы для вычисления площади фигуры, разрешим уравнения линий относительно x: Как видите, значения совпадают.

Нет комментариев

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.